Formes. La géométrie cachée de l'information, de la biologie, de la démocratie et de tout le reste

La formation des mathématiciens est régie aujourd'hui par une volonté d'abstraction et procède fréquemment du " général " au " particulier ". La méthode a ses avantages, elle renforce la puissance de réflexion et évite des répétitions lassantes. Mais elle place la charrue avant les bœufs, parce que l'abstraction vît d'exemples que l'élève ignore ou connaît mal. Le succès ne sourit donc qu'aux bienheureux qui savent trouver seuls le chemin de l'abstrait vers le concret. Pour éviter toute abstraction prématurée, le présent manuel part de deux cas particuliers pour aboutir au " général ". Les démonstrations de l'algèbre abstraite sont exposées d'abord à la lumière du calcul matriciel. L'auteur s'efforce ensuite d'aiguiser l'intuition au moyen d'une analyse approfondie des notions de la géométrie élémentaire et de ses liens avec le calcul matriciel et l'analyse (trigonométrie). Ainsi le lecteur s'entraîne progressivement à l'apprentissage du langage de l'algèbre abstraite, qui est présenté en fin d'ouvrage et est illustré par quelques applications en géométrie, analyse et calcul numérique (classes de conjugaison, équations différentielles linéaires à coefficients constants, calcul des valeurs propres des matrices symétriques, fonctions sphériques). Une place importante est accordée à l'histoire des mathématiques, dans des notices de première main comme tout au long du texte. En sus des très nombreuses figures, quarante-cinq portraits de mathématiciens illustrent l'ouvrage. Plus de quatre-vingts pages d'énoncés d'exercices (introductifs, tirés de la théorie des représentations, classiques ou originaux), un index des personnes et notions citées et un index des notations complètent l'ouvrage.

La théorie de Galois présente des analogies si étroites avec la théorie des revêtements que les algébristes emploient un langage géométrique pour parler d'extensions de corps, tandis que les topologues parlent de " revêtements galoisiens ". Chacun des cadres éclaire et enrichit l'autre. Nous nous sommes efforcés ici de développer ces théories de façon parallèle, en commençant par celle des revêtements, qui permet mieux au lecteur de se faire des images. Dans l'étude des surfaces de Riemann, et dans la théorie des " dessins d'enfants " de Grothendieck, ces analogies se concrétisent en équivalences de catégories. Les trois premiers chapitres - ensembles ordonnés, catégories, algèbre linéaire - apportent le langage et les éléments qui permettent de travailler.

Les méthodes rigoureuses d'évaluation des thérapies sont un acquis récent de l'humanité. Des ravages de la saignée à l'expérimentation qui permit de découvrir le remède contre le scorbut, des statistiques de Florence Nightingale sur l'hygiène dans les hôpitaux aux méta-analyses de la collaboration Cochrane, Simon Singh et Edzard Ernst font le récit de leur longue mise au point. Ils peuvent alors se tourner vers les quatre principales thérapies alternatives, acupuncture, homéopathie, chiropraxie, phytothérapie, dont ils exposent les principes et dont ils retracent l'histoire, qu'elle remonte à la nuit des temps ou à un épisode romanesque du XIXe siècle. Pour chacune, ils présentent les résultats des études les plus récentes, en les illustrant par des histoires particulières, quelquefois dramatiques. Ils sont alors en mesure d'apporter une réponse aux questions que l'on se pose à propos de ces thérapies : qu'est-ce qui est efficace ? qu'est-ce qui peut présenter un danger ? qu'est-ce qui n'est pas plus efficace qu'un placebo ? Des réponses sont apportées de la même façon à propos de trente autres thérapies. Mais le caractère définitif des jugements ainsi formulés sur les divers traitements alternatifs n'épuise pas la question. Des interrogations nouvelles apparaissent : si on sait qu'un traitement ne vaut pas mieux qu'un placebo, est-ce une raison suffisante pour dissuader le patient d'y faire appel ? Ou pour le dire comme les auteurs : la vérité importe-t-elle ?

Les mathématiques sont sûrement très utiles, elles sont aussi amusantes et fascinantes. "Je comprends !", "Mais bien sûr !", "C?est clair !", "C?est simple !", "C?est joli !" sont des exclamations courantes chez les mathématiciens. En nous racontant très simplement des histoires, réelles ou imaginaires, joliment illustrées, les auteurs nous révèlent le sens pro- fond des formules mathématiques, nous les rendent évidentes, et nous expliquent comment elles ont été découvertes. Les héros de ces histoires sont célèbres, qu?ils s?appellent Fermat, Newton, Zénon, Fibonacci, Diderot, Pi, e ou le nombre d?or. Beaucoup des 49 formules de ce livre vous sont déjà familières. Si certaines ont pu un jour vous rebuter, nul doute que désormais, vous direz à votre tour : "Mais c?est simple !", "C?est clair !", "C?est joli 1".