Les plus belles formules mathématiques

Après Maple Sugar, qui conduisait gentiment l'étudiant par la main dans l'apprentissage des bases du logiciel, voici Maple Acid. Après le miel, les raisins verts : le lecteur est maintenant invité à affronter les difficultés par ses propres moyens. Mais qu'il se rassure, il ne sera pas lâchement abandonné clans l'adversité... " Cet ouvrage est conçu comme un livre de problèmes de Sciences Physiques à résoudre à l'aide de Maple. Les difficultés portent aussi bien sur le fond que sur l'outil, aussi bien sur les raisonnements et les techniques du physicien que sur l'emploi de Maple. Les sujets abordés sont empruntés aux programmes des premiers cycles universitaires et des classes préparatoires aux Grandes Ecoles, mais ils sont souvent prolongés par des questions que, sans logiciel de calcul, on n'envisagerait pas à ce niveau. A ce titre ils pourront intéresser un large éventail d'étudiants, dans les universités comme dans les écoles d'ingénieurs.

Comme tous les livres d'Arnold, ce livre fait un large appel à l'intuition géométrique (chaque idée est illustrée par une figure). L'ouvrage, issu d'une série de cours donnés à des étudiants de 3e année de l'université indépendante de Moscou, couvre les aspects fondamentaux de la théorie des EDP : équations du premier ordre, problèmes de Cauchy et de Neumann pour les EDP linéaires classiques de la physique mathématique. A la différence de beaucoup d'auteurs de l'école française, Arnold ne fait pas appel à l'analyse fonctionnelle, ce qui lui permet de s'adresser à des étudiants en mathématiques encore non spécialisés, ainsi qu'à des physiciens. Son but est en fait de dégager quelques notions fondamentales telles que énergie, principes variationnels, lagrangien, principe de Huygens, dualité ondes-particules, transformation de Legendre, valeurs propres et vecteurs propres... souvent issues de la physique, mais qui ont joué, et jouent encore à notre époque, un rôle essentiel dans la constitution des mathématiques modernes. A ses yeux, la familiarité avec ces notions est essentielle à tout mathématicien. Un grand nombre de problèmes sont disséminés dans le livre, et un appendice regroupe des énoncés de travaux dirigés et des problèmes d'examen de l'université indépendante de Moscou.

Enfant, j'écumais les bibliothèques à des kilomètres à la ronde, à la recherche de livres de maths. Ce n'est sans doute pas très normal, mais à l'époque je trouvais ça naturel. Si Histoires de mathématiciens et physiciens avait existé, je me serais jeté dessus. Simon Gindikin a réuni ici quelques histoires fortes, mêlant science et passions humaines, qui mettent en scène cinq grandes figures de l'époque classique des mathématiques. Cardan, génie et rebelle, érudit, joueur, médecin, astrologue, se serait suicidé pour ne pas faire mentir son horoscope, Ça, c'est du professionalisme! Cardan écrivait des ivres; parmi ceux-ci l'un des meilleurs manuels d'algèbre jamais écrits. Il y révèle les secrets de la résolution des équations du 3e degré, les secrets d'un autre... Galilée faisait tomber des balles du haut de la tour de Pise, ou le long d'un plan incliné, en réfléchissant à la trajectoire des boulets de canon pour les artilleurs de l'Arsenal de Venise... Jusqu'au jour de 1610 où il découvrit avec la lunette qu'il avait fabriquée les satellites de Jupiter... En corrigeant une erreur de Galilée, Huygens découvrit une curieuse propriété de la courbe appelée cycloïde, et il utilisa cette propriété pour construire une horloge exacte. Les mathématiciens connaissent Pacsal à cause de son triangle et de ses théorèmes de géométrie, les littéraires à cause de ses Pensées, mais je préfère le célébrer comme inventeur de la brouette... Il a aussi envoyé son beau-frère escalader le Puy-de-Dôme en portant un bol de mercure pour vérifier que la pression atmosphérique décroît avec l'attitude. Gauss trouva à 19 ans une construction du polygone régulier à 17 côtés - le problème était posé depuis 2000 ans! Il publia le résultat dans le journal local, puis devint le plus grand mathématicien de son époque (voire de tous les temps). Simon Gindikin raconte toutes ces histoires avec tendresse, avec un sens prononcé de l'histoire et de ce qui est mathématiquement intéressant. J'apprécie qu'il ne cherche pas à masquer les difficultés: il démontre géométriquement la propriété de la cycloïde. Il démontre aussi la loi de réciprocité quadratique, le "théorème d'or" de Gauss. Tout cela ne rend pas le livre difficile, il suffit au lecteur non spécialiste de sauter quelques passages. Histoires de mathérnabciens et physiciens n'est pas un livre d'histoire, ni de mathématiques ou de physique, c'est un collier de cinq camées étincelants, qui séduira tous ceux qui ont du goût pour la science et la culture. Je suis désormais un inconditionnel de Gindikin, et j'attends la suite avec impatience.