Spé maths 1re. Apprendre à lire et déchiffrer les mathématiques

Résumé : Briques élémentaires des entiers, les nombres premiers irriguent tous les domaines des mathématiques. Mais qui les a inventés ? Quel est le plus grand nombre premier connu ? Un ordre caché gouverne-t-il leur distribution ? Et comment se répartissent-ils parmi les entiers (une question à 1 million de dollars) ? Pour percer ces mystères, les mathématiciens leur ont voué une guerre acharnée, quand ils ne se sont pas affrontés par travaux interposés. L'enjeu est aussi économique - saviez-vous que les nombres premiers s'achètent ? -, écologique - les calculs de primalité consomment une énergie colossale - et militaire - l'algorithme de cryptographie RSA à base de nombres premiers a été un temps interdit d'exportation par la NSA, l'Agence nationale de sécurité américaine. De coups tordus en batailles rangées, voici le récit de cette passionnante guerre souterraine, de l'Antiquité grecque jusqu'aux récentes contributions de Terence Tao, en passant par les travaux de Mersenne, Fermat, Euler, Gauss et par l'hypothèse de Riemann, "graal" des mathématiques.

Plotin (205-270) introduit dans la tradition platonicienne l'hypothèse d'une procession de toutes choses depuis l'Un, principe premier absolument simple, puissance illimitée de production et de génération. Cette procession prend la forme doctrinale particulière d'une succession de trois réalités véritables, de trois "principes" - l'Un, l'Intellect et l'Ame - qui se distinguent successivement sans que chacun quitte celui qui l'a engendré, et sans que chacun cesse de produire un rejeton ou encore un effet. C'est de la sorte que, plus de six siècles après leur rédaction, Plotin entend réfléchir l'une des difficultés principales des dialogues platoniciens, celle de la "participation" du sensible à l'intelligible. Le présent ouvrage examine les aspects, les moyens et les précédents de cette réflexion néoplatonicienne de l'oeuvre platonicienne, en montrant combien le motif de l'imitation y joue un rôle déterminant. Si l'Un est ce dont provient l'Intellect qui, à travers l'activité de l'Ame, donne à notre monde son existence et son intelligibilité, et si l'Un, qui est le Bien dans sa pureté la plus simple et la plus illimitée, ne porte pas la responsabilité de l'indétermination matérielle qui affecte les choses sensibles, ce n'est pas qu'il engendre immédiatement des produits altérés ou de mauvais rejetons, mais plutôt que ces derniers, et en règle générale tout ce qui accède à l'existence, ne sont qu'à la mesure de ce qu'ils imitent. La formule plotinienne de la participation, celle dont on montre ici qu'elle est prononcée par son ontologie aussi bien que par son épistémologie et son éthique, est la suivante: "Toutes les choses, autant qu'elles le peuvent, imitent le principe."

4e de couverture : Les mathématiques semblent le champ le plus solide du savoir scientifique : « C'est prouvé par a + b. » À cette certitude correspondent pourtant non pas une, mais d'innombrables façons de démontrer - on compte par exemple plus de 300 preuves du théorème de Pythagore : par l'absurde, par contre-exemple, par récurrence, etc. Une redondance d'autant plus troublante que certaines sont jugées plus solides que d'autres... Qu'est-ce que prouver et comment s'y prend-on ? Comment lever les paradoxes de l'infini ? Pourquoi faut-il des axiomes ? Quel crédit accorder à un théorème établi par ordinateur ? Dans cet essai, Yan Pradeau lève le voile sur une activité essentielle des mathématiciens. Une fois n'est pas coutume, il détaille non leurs résultats, mais les chemins qui y mènent. Quand on sait depuis Gödel que tout ce qui est vrai n'est pas forcément prouvable, on mesure l'utilité de cet ouvrage !

- Quelle est l'équation derrière la mélodie de Let It Be des Beatles ? - Comment construire un pont de cartes de sorte qu'elles ne tombent jamais ? - Pourquoi l'Académie royale des sciences de Paris a-t-elle renoncé en 1775 à examiner la solution du problème de la quadrature du cercle ? - Quel volume de pâte à pain se tient dans une pizza ? - A quoi correspond la taille de nos cartes de crédit, soit 85, 60 × 53, 98 mm ? Ce livre est né d'un défi. Montrer comment les mathématiques se nichent dans notre quotidien, et souvent là où on ne penserait pas à aller les y voir. Jouer à faire des maths, s'en émerveiller. Les pop-maths sont nées. Yan Pradeau est parti à leur recherche et les a débusquées un peu partout. Il nous les révèle, en mathématicien, en enseignant mais aussi en écrivain, avec beaucoup d'humour et de poésie. Un livre qui se lit dans l'ordre que vous voudrez, car, comme un béret, il n'a pas de sens ! "Résoudre des équations est un exercice souverain pour l'esprit et, chacun sa gymnastique, à pratiquer dès le lever du jour, entre les céréales et le thé aux agrumes". (Yan Pradeau)