Regards sur les textes fondateurs de la science. Tome 3, Chimie : de la théorie à la pratique

La théorie de Galois présente des analogies si étroites avec la théorie des revêtements que les algébristes emploient un langage géométrique pour parler d'extensions de corps, tandis que les topologues parlent de " revêtements galoisiens ". Chacun des cadres éclaire et enrichit l'autre. Nous nous sommes efforcés ici de développer ces théories de façon parallèle, en commençant par celle des revêtements, qui permet mieux au lecteur de se faire des images. Dans l'étude des surfaces de Riemann, et dans la théorie des " dessins d'enfants " de Grothendieck, ces analogies se concrétisent en équivalences de catégories. Les trois premiers chapitres - ensembles ordonnés, catégories, algèbre linéaire - apportent le langage et les éléments qui permettent de travailler.

Les concombres, comme chacun sait, sont composés à 99 % d'eau. On laisse reposer 500 kilos de concombres pendant une nuit, et le lendemain, les concombres ne contiennent plus que 98 % d'eau. Quel est le poids des concombres au matin? C'est l'un des problèmes favoris du célèbre mathématicien Paul Halmos, grand amateur et collectionneur de problèmes. Ne répondez donc pas trop vite... En voici un autre. Le plan peut être rempli par des droites disjointes, par exemple toutes les droites parallèles à l'axe des x. Peut-on de la même façon remplir le plan par des cercles disjoints? Attention: vous n'avez pas droit aux cercles de rayon nul (les points), ni aux cercles de rayon infini (les droites). Certains des problèmes de ce livre peuvent être résolus par des lycéens, d'autres demandent la maturité d'un mathématicien professionnel. Chacun d'eux est une histoire que nous conte Halmos. Il éveille notre curiosité, donne des indications, et livre enfin une solution complète, toujours instructive, même pour ceux qui avaient "trouvé".

La formation des mathématiciens est régie aujourd'hui par une volonté d'abstraction et procède fréquemment du " général " au " particulier ". La méthode a ses avantages, elle renforce la puissance de réflexion et évite des répétitions lassantes. Mais elle place la charrue avant les bœufs, parce que l'abstraction vît d'exemples que l'élève ignore ou connaît mal. Le succès ne sourit donc qu'aux bienheureux qui savent trouver seuls le chemin de l'abstrait vers le concret. Pour éviter toute abstraction prématurée, le présent manuel part de deux cas particuliers pour aboutir au " général ". Les démonstrations de l'algèbre abstraite sont exposées d'abord à la lumière du calcul matriciel. L'auteur s'efforce ensuite d'aiguiser l'intuition au moyen d'une analyse approfondie des notions de la géométrie élémentaire et de ses liens avec le calcul matriciel et l'analyse (trigonométrie). Ainsi le lecteur s'entraîne progressivement à l'apprentissage du langage de l'algèbre abstraite, qui est présenté en fin d'ouvrage et est illustré par quelques applications en géométrie, analyse et calcul numérique (classes de conjugaison, équations différentielles linéaires à coefficients constants, calcul des valeurs propres des matrices symétriques, fonctions sphériques). Une place importante est accordée à l'histoire des mathématiques, dans des notices de première main comme tout au long du texte. En sus des très nombreuses figures, quarante-cinq portraits de mathématiciens illustrent l'ouvrage. Plus de quatre-vingts pages d'énoncés d'exercices (introductifs, tirés de la théorie des représentations, classiques ou originaux), un index des personnes et notions citées et un index des notations complètent l'ouvrage.