Equations différentielles et systèmes dynamiques. Tome 1, Equations différentielles ordinaires, intr

Les mathématiques sont sûrement très utiles, elles sont aussi amusantes et fascinantes. "Je comprends !", "Mais bien sûr !", "C?est clair !", "C?est simple !", "C?est joli !" sont des exclamations courantes chez les mathématiciens. En nous racontant très simplement des histoires, réelles ou imaginaires, joliment illustrées, les auteurs nous révèlent le sens pro- fond des formules mathématiques, nous les rendent évidentes, et nous expliquent comment elles ont été découvertes. Les héros de ces histoires sont célèbres, qu?ils s?appellent Fermat, Newton, Zénon, Fibonacci, Diderot, Pi, e ou le nombre d?or. Beaucoup des 49 formules de ce livre vous sont déjà familières. Si certaines ont pu un jour vous rebuter, nul doute que désormais, vous direz à votre tour : "Mais c?est simple !", "C?est clair !", "C?est joli 1".

Comme tous les livres d'Arnold, ce livre fait un large appel à l'intuition géométrique (chaque idée est illustrée par une figure). L'ouvrage, issu d'une série de cours donnés à des étudiants de 3e année de l'université indépendante de Moscou, couvre les aspects fondamentaux de la théorie des EDP : équations du premier ordre, problèmes de Cauchy et de Neumann pour les EDP linéaires classiques de la physique mathématique. A la différence de beaucoup d'auteurs de l'école française, Arnold ne fait pas appel à l'analyse fonctionnelle, ce qui lui permet de s'adresser à des étudiants en mathématiques encore non spécialisés, ainsi qu'à des physiciens. Son but est en fait de dégager quelques notions fondamentales telles que énergie, principes variationnels, lagrangien, principe de Huygens, dualité ondes-particules, transformation de Legendre, valeurs propres et vecteurs propres... souvent issues de la physique, mais qui ont joué, et jouent encore à notre époque, un rôle essentiel dans la constitution des mathématiques modernes. A ses yeux, la familiarité avec ces notions est essentielle à tout mathématicien. Un grand nombre de problèmes sont disséminés dans le livre, et un appendice regroupe des énoncés de travaux dirigés et des problèmes d'examen de l'université indépendante de Moscou.

A-t-on vraiment compris une théorie si l'on ne sait pas traiter des exemples ? De nombreux théorèmes ne sont-ils pas l'aboutissement de longs calculs sur des cas particuliers ? Les logiciels de calcul formel mettent aujourd'hui ces calculs à la portée de l'étudiant ; ils lui permettent ainsi d'explorer une situation complexe, d'éprouver sur des exemples non triviaux sa compréhension du cours. Sur le plan des contenus, le développement des ordinateurs et de l'algorithmique a provoqué en mathématiques un retour au concret qui n'épargne pas l'algèbre. Ce " retour au concret " est ici mis au service de la théorie : au lieu d'une suite de théorèmes abstraits, les sujets d'algèbre sont abordés à partir d'un riche corpus de calculs, d'exemples, d'applications et d'algorithmes. Fruit de plusieurs années d'enseignement de " Mathématique et Ordinateurs " à l'Université Paris-Sud, Algèbre, arithmétique et Maple est destiné au second cycle des universités et à la préparation à l'agrégation. Il couvre largement le programme habituellement traité en maîtrise dans les domaines suivants : arithmétique, groupes, polynômes à une ou plusieurs variables, théories algébrique et analytique des nombres, théorie de Galois. Chaque chapitre s'ouvre par une initiation aux principales commandes Maple, ainsi qu'aux notions et aux résultats mathématiques essentiels du thème traité. Le lecteur est ensuite guidé dans l'approfondissement de ces notions, dans la découverte de nouvelles applications et d'implémentations sur machine, en exploitant pleinement les ressources du logiciel Maple. Tenant du livre de cours et du recueil d'exercices, cet ouvrage conduit le lecteur dans une double aventure, mathématique et informatique, conjuguant recherches expérimentales et études théoriques et l'incitant à passer de son ordinateur à la bibliothèque, et inversement. Des programmes Maple répondant à la plupart des questions posées sont disponibles sur le site Internet cassini.fr.

Le logiciel de calcul formel Maple est aujourd'hui largement répondu dans les milieux scientifiques. De nombreux livres, parfois volumineux, lui sont consacrés. Le but du présent ouvrage est de proposer à l'utilisateur une initiation aussi pédagogique que possible au langage Maple, en mettant l'accent sur les mécanismes du langage. Ainsi, dons un cadre raisonnable, on pourra trouver l'énoncé explicite des règles en vigueur, une étude soignée de situations délicates et néanmoins courantes, un " démontage " des échecs fréquemment rencontrés par les débutants et, souvent, par des utilisateurs plus aguerris. Guy Le Bris, après avoir longuement expérimenté en classes préparatoires les divers éléments de ce manuel, a mis au point un exposé agréable et clair, qui répondra aux besoins du public varié des utilisateurs de Maple.