Oraux de l'Ecole polytechnique et des Ecoles normales supérieures. Mathématiques Volume 3

Résumé : Ce volume inaugure la nouvelle édition des Oraux X-ENS de Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, conforme au programme de 2014. les sept premiers volumes d'exercices correspondent à ce programme, et un huitième volume reprendra des sujets qui sont désormais hors programme, mais qui sont toujours d'actualité pour l'agrégation. Comme on le verra, les auteurs ont tenu à rédiger les solutions les plus pédagogiques possibles, essayant d'exposer clairement les idées et les démarches de raisonnement. Ces solutions sont en même temps des solutions complètes, et n'escamotent ni les détails ni les calculs, car le candidat est aussi jugé sur sa maitrise des outils que le programme met à sa disposition. Ce premier volume, qui comporte un tiers d'exercices nouveaux, est consacré à l'algèbre générale (combinatoire, groupes, anneaux, corps, arithmétique, polynômes) et aux éléments de base de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, algèbres).

Quatre volumes seront en fin de compte consacrés à l'analyse dans le recueil d'exercices résolus des oraux des Ecoles normales supérieures et de l'Ecole polytechnique de Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas. le présent volume porte le numéro 3. les trois premiers chapitres sont consacrés aux espaces vectoriels normés, aux notions de compacité, convexité, connexité, aux espaces complets, espaces de Hilbert et de Banach. Un dernier chapitre rassemble des exercices sur les intégrales généralisées. On y trouvera la preuve de plusieurs inégalités classiques et le calcul de quelques intégrales célèbres. Ce livre s'adresse naturellement aux élèves des classes préparatoires, mais il sera également très utile aux candidats à l'agrégation qui y trouveront de nombreux développements pour leur oral.

Ce livre est le second tome d'algèbre du recueil d'exercices résolus de S. Francinou, H. Gianelle et S. Nicolas. Comme dans les volumes précédents, les auteurs ont tenu à présenter les solutions les plus pédagogiques possible, essayant "d'exposer clairement les idées et démarches de raisonnement, sans pour autant escamoter les détails ou calculs qui peuvent paraître évidents." Le premier chapitre de ce tome est consacré au déterminant et peut être abordé dès la première année en classe préparatoire. Le second chapitre sur la réduction des endomorphismes constitue le coeur du programme d'algèbre de seconde année, et il est le plus riche des quatre. Le troisième chapitre, aux exercices plus difficiles, est dédié à l'étude du groupe linéaire. Enfin, un nouveau chapitre, consacré à Io topologie des ensembles de matrices et à l'exponentielle de matrice a été ajouté dans cette deuxième édition. Dans chacun de ces quatre chapitres la difficulté est en général croissante: on commence par des questions techniques ou des savoir-faire indispensables (calculs de déterminants, recherche de valeurs propres, générateurs du groupe linéaire, questions d'adhérence et d'intérieur...) et on termine par des exercices plus théoriques. Aux concours de l'X et des ENS, les énoncés proposés aux candidats sont souvent des résultats intéressants par eux-mêmes. Les auteurs ont fait l'effort de les identifier et de les présenter, autant que possible, dans leur contexte naturel. C'est ainsi qu'à l'intérieur d'un chapitre les exercices sont regroupés par thèmes et insérés dans un texte de présentation qui tour à tour dégage des idées générales, apporte des prolongements ou effectue quelques rappels de cours.

La série est maintenant bien connue. Ces volumes ne comporte pas de changements majeurs par rapport aux éditions précédentes, hormis quelques corrections. Il y a des corrections plus importantes dans le tome Analyse 1 que dans les deux autres volumes. Les concours de mai-juin 2015 se passeront sur de nouveaux programmes, mais les trois volumes présentés ici sont 100% compatibles avec ces nouveaux programmes, et pourront être utilisés par les candidats encore plusieurs années. Ces nouveaux programmes ne concernent pas de toute façon les candidats à l'agrégation. Les auteurs prévoient une nouvelle édition entièrement refondue à la rentrée de septembre-octobre 2016.