Solutions d'expert. Volume 1

Les mathématiques sont sûrement très utiles, elles sont aussi amusantes et fascinantes. "Je comprends !", "Mais bien sûr !", "C?est clair !", "C?est simple !", "C?est joli !" sont des exclamations courantes chez les mathématiciens. En nous racontant très simplement des histoires, réelles ou imaginaires, joliment illustrées, les auteurs nous révèlent le sens pro- fond des formules mathématiques, nous les rendent évidentes, et nous expliquent comment elles ont été découvertes. Les héros de ces histoires sont célèbres, qu?ils s?appellent Fermat, Newton, Zénon, Fibonacci, Diderot, Pi, e ou le nombre d?or. Beaucoup des 49 formules de ce livre vous sont déjà familières. Si certaines ont pu un jour vous rebuter, nul doute que désormais, vous direz à votre tour : "Mais c?est simple !", "C?est clair !", "C?est joli 1".

La formation des mathématiciens est régie aujourd'hui par une volonté d'abstraction et procède fréquemment du " général " au " particulier ". La méthode a ses avantages, elle renforce la puissance de réflexion et évite des répétitions lassantes. Mais elle place la charrue avant les bœufs, parce que l'abstraction vît d'exemples que l'élève ignore ou connaît mal. Le succès ne sourit donc qu'aux bienheureux qui savent trouver seuls le chemin de l'abstrait vers le concret. Pour éviter toute abstraction prématurée, le présent manuel part de deux cas particuliers pour aboutir au " général ". Les démonstrations de l'algèbre abstraite sont exposées d'abord à la lumière du calcul matriciel. L'auteur s'efforce ensuite d'aiguiser l'intuition au moyen d'une analyse approfondie des notions de la géométrie élémentaire et de ses liens avec le calcul matriciel et l'analyse (trigonométrie). Ainsi le lecteur s'entraîne progressivement à l'apprentissage du langage de l'algèbre abstraite, qui est présenté en fin d'ouvrage et est illustré par quelques applications en géométrie, analyse et calcul numérique (classes de conjugaison, équations différentielles linéaires à coefficients constants, calcul des valeurs propres des matrices symétriques, fonctions sphériques). Une place importante est accordée à l'histoire des mathématiques, dans des notices de première main comme tout au long du texte. En sus des très nombreuses figures, quarante-cinq portraits de mathématiciens illustrent l'ouvrage. Plus de quatre-vingts pages d'énoncés d'exercices (introductifs, tirés de la théorie des représentations, classiques ou originaux), un index des personnes et notions citées et un index des notations complètent l'ouvrage.

Le logiciel de calcul formel Maple est aujourd'hui largement répondu dans les milieux scientifiques. De nombreux livres, parfois volumineux, lui sont consacrés. Le but du présent ouvrage est de proposer à l'utilisateur une initiation aussi pédagogique que possible au langage Maple, en mettant l'accent sur les mécanismes du langage. Ainsi, dons un cadre raisonnable, on pourra trouver l'énoncé explicite des règles en vigueur, une étude soignée de situations délicates et néanmoins courantes, un " démontage " des échecs fréquemment rencontrés par les débutants et, souvent, par des utilisateurs plus aguerris. Guy Le Bris, après avoir longuement expérimenté en classes préparatoires les divers éléments de ce manuel, a mis au point un exposé agréable et clair, qui répondra aux besoins du public varié des utilisateurs de Maple.

Les concombres, comme chacun sait, sont composés à 99 % d'eau. On laisse reposer 500 kilos de concombres pendant une nuit, et le lendemain, les concombres ne contiennent plus que 98 % d'eau. Quel est le poids des concombres au matin? C'est l'un des problèmes favoris du célèbre mathématicien Paul Halmos, grand amateur et collectionneur de problèmes. Ne répondez donc pas trop vite... En voici un autre. Le plan peut être rempli par des droites disjointes, par exemple toutes les droites parallèles à l'axe des x. Peut-on de la même façon remplir le plan par des cercles disjoints? Attention: vous n'avez pas droit aux cercles de rayon nul (les points), ni aux cercles de rayon infini (les droites). Certains des problèmes de ce livre peuvent être résolus par des lycéens, d'autres demandent la maturité d'un mathématicien professionnel. Chacun d'eux est une histoire que nous conte Halmos. Il éveille notre curiosité, donne des indications, et livre enfin une solution complète, toujours instructive, même pour ceux qui avaient "trouvé".