Exercices corrigés sur la convexité

Le présent ouvrage décrit quelques applications des théorèmes de Cauchy et du théorème des résidus. II s'agit surtout du calcul d'intégrales sur les contours du champ complexe, de la localisation des zéros des équations faisant intervenir des fonctions analytiques de la variable complexe, du développement en série dans le champ complexe de diverses fonctions admettant une infinité de points singuliers, de certaines méthodes de prolongement analytique de fonctions définies par des séries ou des intégrales (fonction eulériennes, fonctions hypergéométriques, fonctions de Bessel, fonctions de Riemann...) enfin l'étude et le calcul des transformées de Fourier, de Laplace et de Hilbert. Intervenant dans tous ces thèmes, une grande place est laissée pour l'utilisation de divers types de chemins du champ complexe, les déformations de ces chemins qui laissent invariantes les intégrales considérées et les calculs explicite de ces intégrales.Ce livre s'adresse aux étudiants en Master 1 et 2 des universités. Ils y trouveront en particulier des méthodes de calcul, ainsi que des compléments utiles aux cours habituels sur les fonctions de la variable complexe, sur le prolongement analytique, sur les fonctions spéciales et sur les transformations de Fourier et de Laplace.

Le présent ouvrage étudie les transformations conformes du demi-plan supérieur de sur les intérieurs de certains polygones dont les côtés sont des segments ou des arcs de cercle. Parmi ces polygones figurent les triangles habituels, mais aussi ceux dont les côtés sont curvilignes. Les fonctions inverses, qui appliquent donc des intérieurs de polygones sur le demi-plan supérieur, tout particulièrement lorsque ces polygones sont des rectangles ou des triangles dont les trois angles sont ou nuls ou égaux à (/p où les nombres p sont des entiers, sont définies à l'aide de fonctions méromorphes et doublement périodiques qui sont des fonctions elliptiques. L'existence d'une telle fonction inverse est liée à la propriété selon laquelle ces rectangles ou ces triangles engendrent, par des symétries répétées par rapport aux côtés, un recouvrement du plan complexe ou du demi-plan ou d'un disque ouvert de réalisant ainsi des généralisations des pavages que l'on connaît bien quand ils sont construits avec, par exemple, des triangles équilatéraux. Les bases nécessaires à cette étude font intervenir la théorie de la variable complexe, les prolongements analytiques par symétrie et une mise en place minimum des définitions et des propriétés des fonctions elliptiques et des fonctions modulaires. Ce livre servira aux étudiants de master des universités, leur apportant des exemples de transformations conformes où l'étude est basée sur la manipulation de fonctions définies par des intégrales, leur donnant des indications sur une famille de fonctions spéciales liées aux fonctions elliptiques, leur fournissant également des méthodes de comparaison de fonctions fondées sur l'analyse de leurs points singuliers.

Le but de ce livre est de présenter de façon rigoureuse mais sans développements théoriques excessifs, les généralisations des séries et des transformations de Fourier classiques constituées par les séries et transformations de Walsh et par des extensions de ces notions à d'autres séries et transformations que l'on peut appeler "de Fourier-Walsh généralisées" . En vue du traitement numérique, les versions discrètes et rapides de toutes ces transformations sont étudiées. Ce livre présente des notions mathématiques dont certaines ne sont pas classiques. Ces notions sont utilisables par les étudiants en master de mathématiques ou en master de type EEA, bien que les uns et les autres puissent en privilégier des aspects différents. Elles peuvent leur fournir des points de référence, des méthodes spécifiques, des exemples de calculs, des indications d'applications, des justifications. A ce titre d'ailleurs, cet ouvrage s'adresse aussi aux ingénieurs, aux numériciens, aux familiers de la théorie du signal ou du traitement du signal. Dans chaque chapitre, des problèmes corrigés proposent des illustrations du cours, des exemples, des méthodes, des calculs effectifs ou des prolongements. Gilbert Demengel est ancien élève de l'ENS de Cachan, professeur agrégé de l'Université, ex-maître de conférences à l'ENS de Cachan, inspecteur général honoraire de l'Education nationale en Mathématiques.