Intégration, espaces de Hilbert et analyse de Fourier. Cours et exercices corrigés

La collection Mathématiques à l'Université se propose de mettre à la disposition des étudiants de troisième, quatrième et cinquième années d'études supérieures en mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves des grandes écoles. Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous: les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur. Cet ouvrage présente, sous une forme unifiée, les géométries différentielle, analytique et algébrique, et montre comment les méthodes de chacune de ces géométries permettent d'approfondir la compréhension des deux autres. Les trois premiers chapitres donnent les rappels nécessaires de calcul différentiel et intégral, et introduisent les concepts de base de la géométrie différentielle. Le quatrième chapitre revient sur les notions classiques de la théorie des courbes et des surfaces de l'espace euclidien. Le lecteur verra comment les concepts généraux introduits dans les premiers chapitres s'appliquent à cette situation concrète. Le dernier chapitre enfin initie le lecteur à la théorie des surfaces de Riemann et la géométrie algébrique, en particulier à la géométrie des courbes algébriques planes. Le texte est éclairé de brèves notes situant dans le temps les contributions des principaux acteurs du développement de la géométrie. En bref, voici un ouvrage d'une richesse exceptionnelle, que tout étudiant ou enseignant en mathématiques aimera lire et relire.

Résumé : Cet ouvrage propose au niveau des deuxième et troisième années du cycle licence ou des deux années du cycle CPGE une présentation des divers éléments du programme impliquant tant le calcul symbolique que le calcul scientifique. Parallèlement à une présentation théorique des éléments de cours aussi précise et rigoureuse qu'elle puisse l'être à ce niveau du cursus, une aide à la prise en main des logiciels Maple, Sage, MATLAB et Scilab est pro-posée en continu au fil du texte. Le lecteur apprendra de cette manière à suivre avec l'aide du logiciel le mieux adapté la preuve d'un résultat théorique dès que celui-ci s'appuie sur une démarche algorithmique, puis il s'appropriera ce résultat pour le mettre ensuite " en situation " sur des exemples choisis. Tous les codes en relation tant avec la présentation du cours qu'avec les guides de travaux pratiques guidés qui l'accompagnent (sur des thèmes aussi variés que l'algèbre polynomiale effective, les mathématiques du son ou de l'image, etc.) figurent dans le corps de l'ouvrage ; le lecteur pourra aussi les retrouver sur un site web dédié et entamer ainsi une lecture interactive, objectif en fonction duquel toute cette monographie a été pensée.

Le livre d'Alain Yger présente, en un seul volume, à la fois la théorie des fonctions de variables complexes et celle des distributions. Le lecteur découvrira avec émerveillement comment ces deux branches de l'Analyse interagissent et s'enrichissent mutuellement. Ainsi par exemple, la théorie des distributions apparaît comme un outil puissant pour l'étude des opérateurs hypoelliptiques, et cette étude éclaire d'un jour nouveau les concepts d'holomorphie et d'analyticité ; la transformation de Fourier établit une correspondance remarquable entre distributions à support compact et fonctions entières. Par son style vivant et convivial, et par les explications détaillées dont il est prodigue, l'auteur a su rendre aussi aisé que possible l'accès à nombre de théorèmes profonds. De plus, son ouvrage, particulièrement riche, est remarquablement bien conçu pour une étude active : les nombreux exercices de compréhension et les thèmes de problèmes sont autant d'invitations à aller plus loin, dans diverses directions intéressantes tant pour les mathématiques elles-mêmes que pour leurs applications.

Cet ouvrage se veut une présentation à la fois du support mathématique de la théorie du signal (au niveau de son enseignement en maîtrise de mathématiques appliquées ou des nouveaux programmes d'agrégation) et de l'implémentation pratique de cette théorie sous des environnements de calcul conviviaux tels MATLAB ou SCILAB. Réalisé à partir de la synthèse de notes de cours intégrés dispensés l'un à un auditoire d'étudiants mathématiciens, l'autre à un public d'étudiants ingénieurs, l'ouvrage est abondamment illustré par la présentation et le traitement de signaux-test, qui lorsqu'ils ne sont pas des signaux d'école, ont été empruntés au domaine de la turbulence, de l'analyse de la parole, et ont motivé, comme les méthodes d'analyse qui leur sont couplées, les travaux de thèse de plusieurs étudiants. Le lecteur pourra rapatrier tous les programmes (rédigés sous l'environnement MATLAB), ainsi que les signaux afférents à ce cours, sur le site Web de l'auteur. Outre le fait qu'il présente le bagage classique et incontournable qui constitue la base indispensable de tout cours de théorie du signal (analyse de Fourier, calcul symbolique), l'ouvrage se veut être aussi une invitation à la découverte de développements plus récents : analyse multi-résolution, ondelettes, compression de données, segmentation de la parole.