Petit traité de hasardologie

La formation des mathématiciens est régie aujourd'hui par une volonté d'abstraction et procède fréquemment du " général " au " particulier ". La méthode a ses avantages, elle renforce la puissance de réflexion et évite des répétitions lassantes. Mais elle place la charrue avant les bœufs, parce que l'abstraction vît d'exemples que l'élève ignore ou connaît mal. Le succès ne sourit donc qu'aux bienheureux qui savent trouver seuls le chemin de l'abstrait vers le concret. Pour éviter toute abstraction prématurée, le présent manuel part de deux cas particuliers pour aboutir au " général ". Les démonstrations de l'algèbre abstraite sont exposées d'abord à la lumière du calcul matriciel. L'auteur s'efforce ensuite d'aiguiser l'intuition au moyen d'une analyse approfondie des notions de la géométrie élémentaire et de ses liens avec le calcul matriciel et l'analyse (trigonométrie). Ainsi le lecteur s'entraîne progressivement à l'apprentissage du langage de l'algèbre abstraite, qui est présenté en fin d'ouvrage et est illustré par quelques applications en géométrie, analyse et calcul numérique (classes de conjugaison, équations différentielles linéaires à coefficients constants, calcul des valeurs propres des matrices symétriques, fonctions sphériques). Une place importante est accordée à l'histoire des mathématiques, dans des notices de première main comme tout au long du texte. En sus des très nombreuses figures, quarante-cinq portraits de mathématiciens illustrent l'ouvrage. Plus de quatre-vingts pages d'énoncés d'exercices (introductifs, tirés de la théorie des représentations, classiques ou originaux), un index des personnes et notions citées et un index des notations complètent l'ouvrage.

Comme tous les livres d'Arnold, ce livre fait un large appel à l'intuition géométrique (chaque idée est illustrée par une figure). L'ouvrage, issu d'une série de cours donnés à des étudiants de 3e année de l'université indépendante de Moscou, couvre les aspects fondamentaux de la théorie des EDP : équations du premier ordre, problèmes de Cauchy et de Neumann pour les EDP linéaires classiques de la physique mathématique. A la différence de beaucoup d'auteurs de l'école française, Arnold ne fait pas appel à l'analyse fonctionnelle, ce qui lui permet de s'adresser à des étudiants en mathématiques encore non spécialisés, ainsi qu'à des physiciens. Son but est en fait de dégager quelques notions fondamentales telles que énergie, principes variationnels, lagrangien, principe de Huygens, dualité ondes-particules, transformation de Legendre, valeurs propres et vecteurs propres... souvent issues de la physique, mais qui ont joué, et jouent encore à notre époque, un rôle essentiel dans la constitution des mathématiques modernes. A ses yeux, la familiarité avec ces notions est essentielle à tout mathématicien. Un grand nombre de problèmes sont disséminés dans le livre, et un appendice regroupe des énoncés de travaux dirigés et des problèmes d'examen de l'université indépendante de Moscou.

Les méthodes rigoureuses d'évaluation des thérapies sont un acquis récent de l'humanité. Des ravages de la saignée à l'expérimentation qui permit de découvrir le remède contre le scorbut, des statistiques de Florence Nightingale sur l'hygiène dans les hôpitaux aux méta-analyses de la collaboration Cochrane, Simon Singh et Edzard Ernst font le récit de leur longue mise au point. Ils peuvent alors se tourner vers les quatre principales thérapies alternatives, acupuncture, homéopathie, chiropraxie, phytothérapie, dont ils exposent les principes et dont ils retracent l'histoire, qu'elle remonte à la nuit des temps ou à un épisode romanesque du XIXe siècle. Pour chacune, ils présentent les résultats des études les plus récentes, en les illustrant par des histoires particulières, quelquefois dramatiques. Ils sont alors en mesure d'apporter une réponse aux questions que l'on se pose à propos de ces thérapies : qu'est-ce qui est efficace ? qu'est-ce qui peut présenter un danger ? qu'est-ce qui n'est pas plus efficace qu'un placebo ? Des réponses sont apportées de la même façon à propos de trente autres thérapies. Mais le caractère définitif des jugements ainsi formulés sur les divers traitements alternatifs n'épuise pas la question. Des interrogations nouvelles apparaissent : si on sait qu'un traitement ne vaut pas mieux qu'un placebo, est-ce une raison suffisante pour dissuader le patient d'y faire appel ? Ou pour le dire comme les auteurs : la vérité importe-t-elle ?

A-t-on vraiment compris une théorie si l'on ne sait pas traiter des exemples ? De nombreux théorèmes ne sont-ils pas l'aboutissement de longs calculs sur des cas particuliers ? Les logiciels de calcul formel mettent aujourd'hui ces calculs à la portée de l'étudiant ; ils lui permettent ainsi d'explorer une situation complexe, d'éprouver sur des exemples non triviaux sa compréhension du cours. Sur le plan des contenus, le développement des ordinateurs et de l'algorithmique a provoqué en mathématiques un retour au concret qui n'épargne pas l'algèbre. Ce " retour au concret " est ici mis au service de la théorie : au lieu d'une suite de théorèmes abstraits, les sujets d'algèbre sont abordés à partir d'un riche corpus de calculs, d'exemples, d'applications et d'algorithmes. Fruit de plusieurs années d'enseignement de " Mathématique et Ordinateurs " à l'Université Paris-Sud, Algèbre, arithmétique et Maple est destiné au second cycle des universités et à la préparation à l'agrégation. Il couvre largement le programme habituellement traité en maîtrise dans les domaines suivants : arithmétique, groupes, polynômes à une ou plusieurs variables, théories algébrique et analytique des nombres, théorie de Galois. Chaque chapitre s'ouvre par une initiation aux principales commandes Maple, ainsi qu'aux notions et aux résultats mathématiques essentiels du thème traité. Le lecteur est ensuite guidé dans l'approfondissement de ces notions, dans la découverte de nouvelles applications et d'implémentations sur machine, en exploitant pleinement les ressources du logiciel Maple. Tenant du livre de cours et du recueil d'exercices, cet ouvrage conduit le lecteur dans une double aventure, mathématique et informatique, conjuguant recherches expérimentales et études théoriques et l'incitant à passer de son ordinateur à la bibliothèque, et inversement. Des programmes Maple répondant à la plupart des questions posées sont disponibles sur le site Internet cassini.fr.