Les mathématiques du mieux faire. Volume 1, Premier pas en optimisation

Un manoeuvre qui doit livrer un mystérieux colis dans une des tours du Chinatown parisien, un banquier en proie à une inquiétante rencontre avec son passé, un footballeur mis au ban de son équipe, un collégien qui tente vainement d'échapper à un contrôle de mathématiques, un quidam qui file un individu que l'on croyait disparu... Des personnages sans grade, désoeuvrés, étranges animent les sept récits de ce recueil. Chacun incarne à sa manière la difficulté d'exister dans le monde incompréhensible qui l'entoure, un monde où la modernité rationnelle, qui s'est substituée au divin, voudrait le réduire à une simple équation algébrique. Heureusement, la rêverie et le voyage intérieur constituent parfois des échappatoires salutaires.

Ce livre s'adresse aux étudiants (et à leurs enseignants) de niveaux L3 et (principalement) M1 de mathématiques. Comme l'indique le titre de l'ouvrage, celui-ci comporte des éléments de Cours et une collection d'exercices et problèmes corrigés. Par "éléments de Cours" nous entendons un corpus introductif à l'Analyse variationnelle et l'Optimisation, qui, suivant les cursus, demande à être complété. L'approche est très progressive, dans un contexte de dimension finie tout d'abord, puis le cadre hilbertien et plus général encore, en soulignant les idées, techniques et résultats de base essentiels. Si le cadre convexe joue un grand rôle, c'est qu'il est à la fois formateur et explicatif, y compris à l'égard de problèmes qui, eux, n'ont rien de convexe. Pour les problèmes d'optimisation non convexes, l'accent est porté sur les points prépondérants que sont : les conditions d'optimalité, la dualisation de Lagrange, les techniques modernes comme celles issues du principe variationnel d'Ekeland. Les exercices et problèmes corrigés (plus d'une centaine) constituent le coeur de l'ouvrage. Chaque exercice est doté d'une, deux ou trois étoiles : ceux avec une étoile peuvent être immédiatement abordés, dès le L3 ; ceux avec deux étoiles sont "normaux" au niveau M1 ; ceux avec trois étoiles sont plus difficiles ou débordent du niveau ciblé, disons qu'ils pourraient déjà relever du M2.

Ce livre est un recueil d'exercices et problèmes corrigés, de difficulté graduée, accompagnés de commentaires sur l'utilisation du résultat obtenu, sur un prolongement possible et, occasionnellement, placés dans un contexte historique. Chaque chapitre débute par des rappels de définitions et résultats du Cours. Le cadre de travail est volontairement simple, l'auteur a voulu insister sur les idées et mécanismes de base davantage que sur des généralisations possibles ou des techniques particulières à telle ou telle situation. Les connaissances mathématiques requises pour tirer profit du recueil ont été maintenues minimales, celles normalement acquises à Bac+3 (ou Bac+2 suivant les cas). L'approche retenue pour avancer est celle d'une progression en spirale plutôt que linéaire au sens strict. Pour ce qui est de l'enseignement, les aspects de l'optimisation et analyse convexe traités dans cet ouvrage trouvent leur place dans les formations de niveau M1, parfois L3, (modules généralistes ou professionnalisés) et dans la formation mathématique des ingénieurs (en 2e année d'école, parfois en 1re année). La connaissance de ces aspects est un préalable à des formations plus en aval, en optimisation numérique par exemple. Biographie de l'auteur Jean-Baptiste Hiriart-Urruty est Professeur à l'université Paul Sabatier de Toulouse. Ses domaines d'intérêt en recherche mathématique sont l'analyse variationnelle (convexe, non lisse, appliquée) et l'optimisation (non convexe, globale).