COURS DE MATHEMATIQUES SPECIALES. Tome 4, géométrie affine et métrique

Résumé : A l'origine cours de mathématiques spéciales, cet ouvrage donne aussi une vue plus générale des mathématiques du premier cycle en insistant particulièrement sur les structures et théorèmes fondamentaux. On y trouvera ainsi les constructions des ensembles mathématiques usuels (N, Z, Q, R, C), l'utilisation de l'axiome de Zorn, les Théorèmes d'Erdös-Kaplansky, de Baire, de Stone-Weierstrass ainsi que d'autres résultats - parfois aux confins du programme - que l'étudiant curieux peut être conduit à rechercher. La présence d'exercices corrigés facilitera l'acquisition du savoir-faire technique nécessaire à l'étude du cours. Ce traité comporte trois volumes : Algèbre, Topologie et analyse réelle, Espaces fonctionnels. Dans le premier tome, la construction de N, Z et Q met en évidence l'importance des relations d'équivalence et du passage au quotient. L'étude des propriétés des. espaces vectoriels, suivant qu'ils soient de dimension finie ou non, s'appuie sur les résultats acquis sur les cardinaux infinis. Les polynômes, étudiés sur un corps K, donneront une construction de C, corps de décomposition de (X*X) + 1, mais serviront aussi dans l'étude des polynômes d'endomorphismes ainsi que pour la réduction des endomorphismes (diagonalisation, trigonalisation et jordanisation). Enfin, l'étude des formes quadratiques et hermitiennes complète ce tome d'Algèbre.

Résumé : Guerres ethniques, " purification ethnique " mais aussi minorités (à protéger), identités (à respecter) : l'ethnicité est-elle, comme la langue d'Esope, la pire et la meilleure des choses ? On trouve ses formes de représentation loin dans l'histoire, dans les jeux de pouvoir entre conquérants et autochtones. Depuis le XIXe siècle, elle apparaît, avec l'érection des nationalités, comme le principe organisateur de l'espace européen. Pourtant, la science sociale a régulièrement échoué à donner une définition universelle de l'ethnie. C'est que l'ethnicité est avant tout une façon élémentaire - et, en un sens, arbitraire - de classer l'autre et le semblable, une manière sommaire d'ordonner le monde, et c'est la simplicité de cette logique rudimentaire qui la rend particulièrement adaptée à l'âge de l'" Etat scientifique " et à l'ordonnance du monde moderne. Telle est l'hypothèse que soutient l'auteur, s'appuyant sur l'exemple récurrent des entités balkaniques : la Yougoslavie, conçue au XIXe siècle et dont la vie se confond avec le " court XXe siècle " ; la Macédoine, de l'éphémère République de Krusevo à la fragile République protégée par l'OTAN ; les Valaques, ancien peuple de pasteurs doté d'une récente identité emblématique. L'ordre rétabli par la communauté internationale dans la péninsule déchirée est à l'image du nouvel ordre européen, fondés qu'ils sont sur un " principe des minorités " qui tend à supplanter l'ancien principe des nationalités. Mais, à travers l'un ou l'autre, c'est toujours l'ethnicité qui ordonne le monde...

Je me suis efforcé, en rédigeant ces exercices, de répondre à la question qui se pose à tous les candidats aux concours de grandes écoles: comment organiser rationnellement la recherche de la solution d'un problème?Une réflexion sur l'énoncé doit d'abord permettre au candidat de se situer dans telle ou telle partie des mathématiques.Si les notions intervenant dans le problème sont proches de mécanismes constructifs déjà rencontrés dans telle ou telle partie mathématique du cours, on pourra alors s'y référer pour la justification de résultats (bases des espaces vectoriels, parties génératrices d'une structure...).Dans cet esprit, le présent ouvrage ne se limite pas à l'énoncé d'une collection de résultats à connaître, mais se veut constituer un essai d'exposition par l'exemple d'une méthode de travail.La partie Algèbre générale est renforcée, conformément aux nouveaux programmes des classes MP*