Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces

Ce n'est que vers 1900 que les mathématiciens ont commencé à étudier solidement la notion de convexité, qui aujourd'hui diffuse dans de nombreuses branches des mathématiques et de leurs applications. Ces deux Opuscules prennent la convexité, les fonctions convexes et les ensembles convexes à leur départ, dans` la géométrie très visuelle du plan et de l'espace, et emmènent le lecteur jusqu'aux travaux les plus récents, même en grandes dimensions. Pour nous la convexité est une voie facile et peu ingrate de pénétrer dans la géométrie, qui reste une des trois branches fondamentales des mathématiques, alors qu'elle est dans une situation paradoxale dans l'enseignement (à tout le moins jusqu'au niveau Master). Elle a presque disparu de tous les programmes, y compris de l'agrégation, mais reste d'une nécessité vitale dans la vie moderne (vision et animation 3D, CAO, astronomie et astrophysique, biologie, robotique, GPS, etc.).

Si les mémoires de Sarah Bernhardt (1844-1923) ont été souvent réédités, on ignore en général qu'à la fin de sa vie la grande comédienne avait entrepris d'écrire un ouvrage où elle transmettrait son expérience aux générations futures d'acteurs et d'amateurs de théâtre. Elle en dicta jusqu'à sa mort les chapitres, qui furent ensuite ordonnés et publiés par Marcel Berger, un des familiers de ses dernières années. Le lecteur trouvera dans ces pages une mine inépuisable de conseils et d'observations sur le métier de comédien, depuis les impératifs de la voix jusqu'aux détails pratiques du maquillage. Sarah Bernhardt compléta et illustra ce véritable guide de l'art dramatique par une profusion d'anecdotes, où l'on retrouve la drôlerie et la vivacité qui rendirent célèbre sa conversation. Extrait : "L'art de notre art est de ne pas se faire reconnaître du public : pas un instant il ne doit penser que ce n'est pas arrivé, nous devons le tenir dans l'ambiance où l'auteur a voulu le transporter, nous devons créer l'atmosphère par notre sincérité, et le public haletant, éperdu, ne doit comme l'artiste, reconquérir son libre-arbitre qu'à la chute du rideau". Sarah Bernhardt. Sarah Bernhardt, née le 22 octobre 1844 dans le Paris 6e et morte le 26 mars 1923 à Paris 17e , est une actrice, peintre et sculptrice française. Elle est considérée comme une des plus importantes actrices françaises du XIXe et du début du XXe siècle.

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Ce livre est consacré à l'actualité de la géométrie élémentaire, actualité qui ne s'est pas démentie malgré l'apparition de domaines des mathématiques et de problèmes entièrement nouveaux. Car les idées géométriques irriguent toutes les mathématiques, et en retour certains problèmes de géométrie, élémentaires en apparence, n'ont pu être résolus que récemment, grâce à la découverte de notions nouvelles qui les ont éclairés. Ce sont ces notions nouvelles, souvent considérées comme très abstraites au moment de leur introduction, et bâties chacune " au-dessus " de la précédente, qu'illustre l'image des barreaux successifs de l'Échelle de Jacob, qui est le leitmotiv du livre. La liste des sujets abordés témoigne de l'immense culture géométrique de Marcel Berger : - points et droites dans le plan, pour lesquels se posent dès l'abord des problèmes élémentaires et difficiles ; - cercles et sphères ; - géométrie sur la sphère, où se pose le problème de la répartition la plus égale possible d'un nombre donné de points, problème important pour la technologie et la physique - comme beaucoup d'autres dans ce livre - et auquel la matière vivante apporte ses propres solutions ; - coniques et quadriques ; - courbes planes, dont la théorie topologique ne date que des années 1930, et n'est toujours pas achevée ; - surfaces lisses, autour de l'?uvre de Gauss et de ses prolongements modernes ; - convexité ; - polygones, polyèdres, polytopes ; - réseaux, empilements et pavages, des sujets qui intéressent autant théoriciens des nombres et géomètres que physiciens, chimistes et spécialistes du codage. - questions de dynamique enfin, qui marquent l'entrée du temps dans la géométrie, la fusion de la géométrie et de la mécanique : le problème des billards, et celui du mouvement libre sur une surface. On trouvera dans Géométrie vivante des centaines de figures, d'anecdotes, de notions et de définitions décortiquées et expliquées, beaucoup d'idées de démonstration, peu de démonstrations complètes. L'auteur renvoie pour les démonstrations les plus élémentaires à son livre Géométrie et pour les autres à la littérature scientifique, grâce à une bibliographie pratiquement exhaustive.