Le concept de preuve à la lumière de l'intelligence artificielle

Résumé : Tous les commencements sont grands ! Le bel essai de Jean-Jacques Szczeciniarz sur le géocentrisme vient à point nous le rappeler. Et contrairement aux apparences, la réflexion de Jean-Jacques Szczeciniarz sur la signification profonde du géocentrisme antique pourrait bien être d'une brûlante actualité pour la science actuelle, laquelle cherche confusément un nouveau paradigme global. La myopie intellectuelle d'une certaine histoire des sciences tendrait à nous faire accroire que le géocentrisme aristotélicien était une erreur de parcours de la science, fondée sur une généralisation abusive de témoignage des sens. Jean-Jacques Szczeciniarz démontre de façon convaincante que le géocentrisme a joué un rôle clé dans la fondation de la scientificité chez les grecs en étant une condition nécessaire de la conceptualisation globale de l'Univers sous le mode de la sphère. On découvre dans ce livre un profond jeu d'inversion par lequel la place du regard central est en dualité avec le tout systématisé sous la figure de la sphère. L'univers antique est tout autant cosmocentrique que géocentrique. Et c'est là une des leçons majeures que je retiens de ce livre car j'y vois un message d'une grande actualité. La science grecque n'a pu commencer à décrire rationnellement la physique du monde local que quand elle a réussi à penser la globalité en termes géométriques (sphère). D'où la prégnance de la description sphérique (puis circulaire, puis épicyclique) des mouvements planétaires.

Jean Cavaillès (15 mai 1903-17 février 1944) était un philosophe français, héros et l'un des organisateurs de la Résistance, avant d'être fusillé à 40 ans par les nazis. Une journée d'hommage lui a été consacrée le 17 février 2014 à l'Ecole normale supérieure de Paris. Pierre-Yves Canu, Tommy Murtagh, Hourya Benis Sinaceur, Paul Cortois, Alya Aglan, Baptiste Mélès, Gerhard Heinzmann et Jacques Lautman présentent un Cavaillès indissociablement philosophe et Résistant, explorent les racines de sa pensée, montrent l'actualité de ses concepts. Jean-Jacques Szczeciniarz et Christian Houzel proposent une analyse du Mouvement de la jeunesse allemand, un historique de la société Les Amis de Jean Cavaillès, éditrice du présent recueil, et deux hommages à celui qui la présida de 1989 à 1995, le mathématicien Henri Cartan.

Résumé : Est-il possible de caractériser l'espace euclidien tridimensionnel qui s'offre si immédiatement à l'intuition physique au moyen d'axiomes mathématiques simples et naturels ? Plus généralement, est-il possible de caractériser les espaces de Bolyai-Lobatchevskii à courbure constante négative, ainsi que les espaces de Riemann à courbure constante positive, à l'exclusion de toute autre géométrie contraire à une intuition directe ? A une époque (1830-1850) où l'émergence nécessaire des géométries dites non-euclidiennes devenait incontestable, c'est Riemann qui a soulevé cette question profonde et difficile dans son discours d'habilitation (1854), sans chercher, toutefois, à la résoudre complètement. Helmholtz (1868) l'interprétera en conceptualisant le mouvement des corps dans l'espace et il tentera d'établir rigoureusement que le caractère métrique et localement homogène d'un espace se déduit d'axiomes de mobilité maximale pour des corps rigides. Mais il fallut attendre les travaux de Sophus Lie, et notamment la Theorie der Transformationsgruppen (2100 pages, 1884-1893) écrite en collaboration avec Friedrich Engel, pour qu'une solution complète et rigoureuse soit apportée à ce fascinant problème, à la fois au plan local et au plan global. L'introduction historique, philosophique et mathématique ainsi que la traduction que nous proposons ici aspirent à faire connaître un aspect de l'oeuvre monumentale de Sophus Lie qui demeure essentiellement peu évoqué au sein de la philosophie traditionnelle géométrique.