Les clefs pour l'oral MP, mathématiques, ENS-X. Session 2018

Ce recueil est consacré à la session d'écrit 2015 des principaux concours de la filière MP, donnant ainsi une image exhaustive de ce qui est demandé par les écoles. Bien entendu, l'objectif premier est de proposer une rédaction conforme à celle que l'on attend du candidat le jour du concours. Mais faire un problème de concours ou étudier son corrigé, ce n'est pas seulement s'entraîner en vue l'épreuve (efficacité, rédaction). C'est aussi l'occasion pour l'élève de revenir sur les notions étudiées au cours de la préparation, d'y réfléchir de façon approfondie, voire de combler ses lacunes. C'est pourquoi des commentaires, ainsi que les énoncés des principaux résultats utilisés, accompagnent l'énoncé et son corrigé. Sous la conduite éclairée de Bernard Randé, les auteurs ont retenu pour nous les dix épreuves de très loin les plus significatives des concours d'entrée aux écoles scientifiques dans la filière Les problèmes de concours sont une vitrine des écoles. L'étude d'épreuves récentes est donc pour le candidat l'occasion de se familiariser avec les particularités d'un concours donné. Les concours de 2015 ont vu l'introduction de nouveaux programmes. En ce sens, les problèmes contenus dans ce livre sont beaucoup plus significatifs des concours futurs que ne le seraient d'autres datant d'avant 2014.

Ce nouvel ouvrage de la série "Les clefs pour. . ". propose aux étudiants de PSI et de PSI plus de deux cents exercices posés très récement aux principaux concours de cette filière : Polytechnique, Mines, Centrale, CCP. Les niveaux de difficulté et les thèmes abordés sont suffisamment variés pour couvrir largement l'éventail des sujets effectivement proposés à ces concours. Ce livre permettra aux étudiants, dans des conditions aussi proches que possible de celles des concours, d'analyser un énoncé, d'entrer dans la résolution de l'exercice, d'appliquer les théorèmes du cours, en un mot de s'entraîner à l'épreuve d'oral dans toutes ses dimensions. Les solutions sont détaillées et s'appuient exclusivement sur le programme de la filière PSI. Cependant, le livre pourra être utilisé avec profit par les étudiants d'autres filières scientifiques.

Ce livre consiste en des annales des oraux les plus récents dans la filière MP (qui se sont déroulés sur la base de nouveaux programmes). Ils sont destinés à initier une série de livres, à parution annuelle, couvrant à partir des oraux 2016 non seulement la filière MP, mais aussi la filière PC et la filière PSI. Les étudiants les utilisent tout au long de l'année (c'est pourquoi la série suivante sera beaucoup plus précoce), mais de façon cruciale lors de la préparation des oraux, disons entre le 15 mai et la fin juin. Il n'existe actuellement pas d'annales ENS et quasiment pas d'annales X, à l'exception notable de la RMS, mais qui ne vise pas à l'exhaustivité. Il n'y a que des collations d'exercices anciens (et obsolètes le plus souvent). Pour les oraux Mines-Centrale-ENS, les livres concurrents ne sont pas de taille à être comparées avec le présent livre, compte tenu de la qualité de nos deux auteurs, Bernard Randé et Quentin Guignard.

Accéder aux espaces de Hilbert, c'est un peu comme se diriger vers un trou de ver de l'espace interstellaire : le voyage commence comme un vol interplanétaire classique, avant la promesse de galaxies lointaines. Mais ce simple vol préalable requiert d'être soigneusement préparé, à l'aide de techniques éprouvées. Les espaces de Hilbert ne nous arrachent que progressivement à la familiarité des espaces préhilbertiens de dimension finie, mais nous projettent inévitablement vers des univers beaucoup plus stupéfiants. L'objet du livre est de préparer le lecteur à ce vol, psychologiquement et techniquement. La boite à outils de base contient l'algèbre linéaire, l'analyse fonctionnelle, la topologie, mais beaucoup de ses tiroirs sont à double fond. La difficulté, surmontée par l'auteur, est de ne pas ensevelir l'hilbertonaute sous une avalanche de compétences préalables, installées au contraire au fur et à mesure des besoins ; de cette manière, l'apprentissage dans les champs mathématiques les plus divers se fera parla construction d'une familiarité nécessaire avec les espaces de Hilbert, d'une richesse et d'une luxuriance stupéfiantes. Cette familiarité est dispensée par l'auteur grâce à une démarche scientifique détaillée et pédagogiquement élaborée. Elle est visible dans les très nombreux exercices, qui permettent au lecteur de confronter ses acquis supposés à sa pratique réelle, lecteur qui pourra ainsi aborder sereinement les sujets classiques en matière d'espaces de Hilbert, depuis les divers calculs fonctionnels jusqu'à certaines classes d'opérateurs en passant par la théorie spectrale. Une expérience préalable en analyse fonctionnelle et en intégration est plaisante, mais ce livre sera l'occasion pour le Gagarine de demain de l'enrichir, ou à défaut de l'entamer, qu'il soit en troisième année de l'enseignement supérieur ou en préparation à l'agrégation par exemple. L'ouvrage contient plus de trois cents cinquante exercices, tous corrigés, ainsi que des annexes où sont rappelés des résultats utiles.