Les clefs pour l'X. Tome 2

Résumé : Rédigé à l'attention des étudiants en Licence de mathématiques et des classes préparatoires scientifiques, l'ouvrage est constitué d'un cours complet, de commentaires et développements et de 120 exercices corrigés. Afin d'aborder les différents aspects de la théorie de la réduction, les premiers chapitres détaillent avec soin les objets et concepts de l'algèbre linéaire. Les chapitres suivants présentent aussi bien les critères pratiques que leurs utilisations théoriques, à l'appui de nombreux exemples. Cette approche pédagogique offre également une base solide de révision pour tous les candidats qui se préparent aux concours de l'enseignement.

Les probabilités ont fait leur apparition très récemment dans le programme de mathématiques de toutes les classes préparatoires scientifiques. Complexes et très variées, elles sont mobilisées dans de nombreux domaines et forment un sujet à la fois délicat et passionnant pour les élèves comme pour les professeurs. Cet ouvrage propose un apprentissage efficace et accessible des concepts rencontrés avec : des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser efficacement, de nombreux exercices intégralement corrigés pour s'entraîner et se mettre en situation d'épreuve : exercices guidés, exercices d'application et d'approfondissement, certains issus de problèmes de recherche actuels.

Un manuel concis pour maîtriser l'algèbre linéaire, indispensable en mathématiques, avec un cours complet, des exercices corrigés et des développements commentés. Après de nombreux rappels sur les fondements de la théorie de la dimension, du rang et des systèmes linéaires, qui sont au coeur de l'enseignement de l'Algèbre linéaire de L1 ou de Math Sup, le livre procède très vite à la mise en place des méthodes et des objets fondamentaux de la réduction des endomorphismes. Chaque énoncé d'exercice, accompagné d'un rappel de cours, est l'occasion d'en présenter la thématique qui le replace dans un contexte mathématique signifiant (et non pas déconnecté de l'apprentissage). Les auteurs en proposent un éclairage multiple, et livrent une (ou plusieurs) solution(s) ainsi que divers développements apparentés. Sommaire : 1. Polynômes d'endomorphismes - 2. Sous-espaces stables - 3. Commutation - 4. Lemme des noyaux - 5. Eléments propres - 6. Endomorphismes cycliques - 7. Théorème de Cayley & Hamilton - 8. Diagonalisation - 9. Trigonalisation - 10. Réduction de Jordan - 11. Réduction de Frobenius - 12. Topologie des classes de similitudes - 13. Localisation des valeurs propres - 14. Application aux chaînes de Markov finies - Notations Cette deuxième édition refondue, augmentée de quelques exercices complémentaires, intègre maintenant plusieurs annexes consacrées à des développements mal compris par les lecteurs.

Extrait Avant-propos Les choix de rédaction Écrire un livre impose des choix sur le contenu, l'ordonnancement et la forme du cours et des exercices. Cet ouvrage est avant tout rédigé afin d'être efficace. Voici quelques partis pris. ° Respecter l'esprit du programme en particulier la progression lorsque celle-ci est annoncée. Il ne s'agit pas de se limiter strictement au contenu explicitement mentionné dans le programme (ajouter une proposition qui permet de mieux comprendre un point exigible est un choix assumé) mais de fournir un outil qui permet de comprendre en profondeur les notions mises en oeuvre. ° Ajouter une grande variété d'exemples : l'importance des exemples est sous-estimée ; ils permettent de voir les propositions et théorèmes en actions. ° Illustrer les résultats avec des dessins explicites ou des schémas formateurs (il y en a plus d'une centaine dans cet ouvrage). L'intuition se nourrit de ces représentations. ° Hiérarchiser et structurer les chapitres afin de faciliter l'assimilation et de mettre en évidence les articulations logiques. L'utilisation recommandée Si ce livre est construit pour être un outil utile, sa seule possession ne suffit pas et l'étudiant doit aussi apprendre à l'exploiter. Voici quelques pistes de travail. ° Lire le cours, exemples compris ; si besoin, refaire un calcul ou un schéma sur une feuille de brouillon. ° Retenir les énoncés et l'importance de chaque hypothèse ; pour cela on peut utiliser les questionnaires de type Vrai ou Faux (à la fin du chapitre en classe, avant une colle ou un devoir). ° Faire une fiche de synthèse personnelle (celles proposées dans ce livre sont purement indicatives) en faisant apparaître les points de cours importants, leurs articulations voire des méthodes de calcul ou de résolution. ° Chercher les exercices suffisamment longtemps et ne jamais abandonner un énoncé sans s'être posé les questions suivantes : quels sont les points de cours concernés ? quels sont les énoncés proches que je connais ? pourquoi mes tentatives ne fonctionnent pas ? (...)